さいえんす ラボ

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面白い数学!お線香できっちり時間をはかる!

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もうすぐ夏ですね。
夏といえば蚊取り線香


今日はそのお線香を使ってきっちりと時間をはかる数学パズルをご紹介します。

Q1
8分で燃え尽きるお線香が2本あります。
このお線香を使って、正確に6分測るにはどうしたらよいでしょう?
※お線香を折ったり、計ったりしてはいけません。



Q2
8分で燃え尽きるお線香が3本あります。
このお線香を使って正確に10分測るにはどうしたら良いでしょう?
※お線香を折ったり、計ったりしてはいけません。



Q3
8分で燃え尽きるお線香が3本あります。
このお線香を使って正確に9分測るにはどうしたら良いでしょう?
※お線香を折ったり、計ったりしてはいけません。


お分かりでしょうか?
解説は後ほど。





Q1の解説〜8分のお線香で6分測る〜

まず、お線香が8分で燃え尽きるものですから、2本をそのまま燃やしていたら16分かかってしまいます。
そこで2本を同時に燃やせば8分なのですが、6分はそれよりも短くしなければいけません。


お線香を早く燃やすためには、お線香の両側から火をつけるのです。


そうすれば、8分で燃え尽きるはずのお線香は倍の速さで燃え尽きるので4分で燃え尽きることになります。


実際にやってみましょう。


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まず、1本目の両端に火をつけます。
同時に、2本目の片側にも火をつけます。



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4分後。
1本目のお線香は燃え尽きます。


しかし、片側しか火をつけなかったお線香は後半分(4分の長さ)残っています。

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そこで、残りのお線香のもう片側にも火をつけます。


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4分の長さのお線香の両端に火をつけたので、倍の速さで燃え尽きますから2分で燃え尽きます。


1本目が4分、2本目がその後2分で燃え尽きているので、これで6分が正確に測れたことになります。



Q2の解説〜8分のお線香で10分を測る〜

今度は3本使って、10分です。


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まず、1本目の両端に火をつけます。


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4分後、1本目は燃え尽きます。


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そのタイミングで、2本目の両端と1本目の片側に火をつけます。


カンの良い方ならお分かりですね。


そう、最初の1本燃やした時点で4分測れているので後6分測れれば良いのです。
6分はQ1で測る方法をやりましたね。


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8分後、2本目は燃え尽きますが、3本目は片側しか火をつけていなかったのであと4分の長さが残っています。


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3本目のもう片側にも火をつけます。


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10分後、全てのお線香が燃えました。


Q1が理解できていれば、問題ないレベルですねぇ。



Q3の解説〜8分のお線香で9分を測る〜

最後は少し難問です。

今までは、6分、10分と偶数だったので8分の半分の組み合わせでなんとかなって来ましたが、今回は9分という奇数です。


それでは始めます。



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まず、1本目の両端と2本目の片側に火をつけます。


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4分後、1本目は燃え尽き2本目は残り4分の長さを残しています。


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次に、2本目のもう片側と3本目の片側に火をつけます。


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6分後、2本目は燃え尽きますが、3本目は片側しか火をつけていないので6分の長さが残っています。


おー。
2本目を2分で燃やしたことで、8分の長さのお線香から残り6分という長さを取り出すことができました。


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あとは、この3本目のお線香のもう片側に火をつけます。


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すると9分後に全てのお線香が燃え尽き、きっちり測ることができました。




考え方

このお線香問題。
2つの鍵で成り立っています。


1、目標の時間長さに対し、どういう組み合わせ(足し算)で成り立たせるか?
2、組み合わせる数字をどう作るか?

目標の時間長さに対し、どういう組み合わせ(足し算)で成り立たせるか?


日本の教育では、小学校の算数は、

1+1 = ???

という教え方をしますが、欧州では


2 = ??? + ???


という考え方をとらせるそうです。


この問題の考え方も同様の考え方です。


答えを例にとると、

Q1は
6=4+2

Q2は
10=4+4+2

Q3は
9=4+2+3


で組み合わされています。

組み合わせる数字をどう作るか?

組み合わせが決まればあとは、組み合わせをする数字をどう作るか?です。


武器となるのは、「両側につけて時間を半分にする」ということと「速度の違うお線香を2本同時に燃やした時の差分」です。


『4』は簡単ですね。
初期の長さの半分です。


『2』は少し難しいですが、『4』の半分なので、2本を同時に燃やし「差分」で4分の長さが取り出せているとすれば作ることができます。


『3』は難関です。
当然直接作ることができないので、まず『6』を作る必要があります。


『6』は8と2の「差分」ですから『2』が作り出せていれば『6』が作ることができると発想できます。



まとめ


いかがだったでしょうか?
コツさえ掴めば、簡単な問題ですね。

この問題元々は「60分のお線香で45分を正確に測りなさい」という問題でしたが発展性を持たせるために8分にしました。

ではまた。

こちらの記事も御覧ください
life-of-dreams.hatenablog.jp
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