読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

さいえんす ラボ

子育て、仕事、ブログ、健康に関することを実体験を元に書いて行きます。

面白い数学!クラスの中に同じ誕生日の人がいる確率は?鳩の巣原理

f:id:life_of_dreams:20170509054638j:plain

今日は確率の話をします。
この問題は、2017年1月に放送されたEテレの『大人のピタゴラスイッチ』で紹介された内容です。

40人のクラスがあった場合、その中に誕生日が一緒の二人がいる確率はいくつでしょう?

実は89%もあります。

え?

と思われた方も多いのではないでしょうか?

ではでは紐解いてみましょう。


同じ誕生日の人がいる確率は?

もしとあるクラスで、とある誕生日の人がいたとします。
次の人が、その人と違う誕生日である確率は、


{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{364}{365}
\end{equation}
}


となります。
また、次の人が前の二人と違う誕生日である確率は、


{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{363}{365}
\end{equation}
}


となります。

次にこの3人が全員誕生日が違う確率は、
この二つはそれぞれ独立事象として扱えるので、


{
\displaystyle
\frac{364}{365}
×
\frac{363}{365}
}


となります。
もう少し、わかりやすく書くと、


{
\displaystyle
\frac{365}{365}
×
\frac{364}{365}
×
\frac{363}{365}
}


となります。

つまり、誕生日が全員違う確率というのは、
人数分だけかける個数があって、分母は365のまま、分子は365から1ずつ下がっていくという掛け算になります。

これを数式で書くと、

{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{_{365}P_{3}}{365^{3}}
\end{equation}
}


となります。


今は3人の場合でやりましたが、これをm人とすると、上記の式は単純に、


{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{_{365}P_{m}}{365^{m}}
\end{equation}
}


となります。
これが、m人いて全員誕生日が異なる確率なので、
「クラスの中に同じ誕生日の人がいる確率は?」
というと、この逆を考えれば良いのです。

つまり、全体の100%から、計算した「全員の誕生日が異なる確率」を引けば求めたい答えになります。
この考え方を『余事象』と専門用語では言います。

従って、今回の場合は、


{
\displaystyle
\begin{equation}
1-\frac{_{365}P_{m}}{365^{m}}
\end{equation}
}


が、「クラスの中に同じ誕生日の人がいる確率は?」の答えになります。


試しにmに40という数字を入れてみると、その答えは0.891。
つまり、だいたい89%の確率で同じ誕生日の人がいるということになります。



自分と同じ誕生日の人がいる確率は?

前項の答えに違和感がある人は、この問題と勘違いしているのではないでしょうか?


友達がいて、その友達が自分と同じ誕生日である確率は、


{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{1}{365}
\end{equation}
}


です。
もう1人友達がいたとして、その友達が自分と同じ誕生日である確率は、


{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{1}{365}
\end{equation}
}


です。

先ほどと同様にこの2つは独立事象ですが、
3人が全員同じ誕生日であることも許されるので、この場合確率としては


{
\displaystyle
\frac{1}{365}
+
\frac{1}{365}
+
\frac{1}{365}
}


となります。
つまり、人数分だけ足し算するということです。
これをm人の場合で数式化すると、


{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{m}{365}
\end{equation}
}


となります。
40人クラス場合だった場合、mに40を入れるとその答えは0.109。
つまり、だいたい11%の確率で同じ誕生日の人がいるということになります。
(先ほどの余事象の考え方を使っても同じ答えを得られます)

10回クラス替えを行ったら1回くらいは同じ誕生日の人がいるかな、という感じでありこれだと肌感覚と合うのではないでしょうか?



鳩の巣原理とは単純なことだが学校では教えてくれない

これは、鳩の巣原理と呼ばれている有名な確率の話で、学校の教科書には載っていません。

鳩の巣原理(はとのすげんり、英: Pigeonhole principle)とは、n 個の物を m 個の箱に入れるとき、n > m であれば、少なくとも1個の箱には1個より多い物が中にある、という原理である。

f:id:life_of_dreams:20170510003758j:plain
n = 10 羽の鳩が m = 9 つの巣の中にいる。したがって少なくとも1つの巣には2羽以上の鳩がいる。
Wikipediaより

つまり、箱の数が決まっていてもなお物を入れたい場合はどこか同じ箱を使うしかないですよ、という原理です。

先の問題では、枠としては365個あるわけなので40という数字ならば別々に入ることも可能なのですが、「確率的には」それをわざわざ選択する方が難しく、同じ箱に入ってしまうという、なんとも奇妙な結果になるのです。



まとめ


数学ってこういう捉え方をしていくとドンドン面白くなりますね。
ちなみにこの問題は『誕生日のパラドクス』という問題で親しまれています。
ちょっと子供に教えたくなるような問題ですね。
ではでは。






life-of-dreams.hatenablog.jp
life-of-dreams.hatenablog.jp