さいえんす ラボ

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面白い数学!2つの封筒問題〜心理的トリックを解説〜

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今日は2つの封筒問題について書きたいと思います。
恥ずかしながら、モンティ・ホール問題に引き続きこの問題もたけぽんは最初に出会った時に思いっきり勘違いして間違えました。

ではでは、早速。





2つの封筒問題とは?

あなたの前にお金の入った2つの封筒があります。
一方の封筒には、倍の金額のお金が入っています。
あたなはどちらかの封筒のお金をもらうことができます。
あなたは一方の封筒を開けることが許され、その封筒に入っていたのは1万円でした。
1度だけ変更することが許された場合、あなたは選ぶ封筒を変えますか?


選ぶ封筒を変更すると2万円が入っているかもしれません。
でも、もしかしたら5千円になってしまうかもしれません。
どちらが正解でしょうか?


選ぶ封筒は変えた方が良い!

実はこの問題、モンティ・ホール問題の時と同様に封筒は変更した方が良いのです。

↓モンティ・ホール問題
life-of-dreams.hatenablog.jp


なぜか。


これは『期待値』と言われる話になります。

確率論において、期待値(きたいち、英: expected value)は、確率変数の実現値を, 確率の重みで平均した値である。
Wikipediaより


期待値=(起こりうる確率*もらえる金額)の合計


要は、実際に変えたらどれくらい得するの?っていうのをわかりやすい指標に置き換えたものになります。


実際に、この2つの封筒問題では、1万円という封筒を選んだ時点で変更しなければ確実に1万円をゲットできます。
でも、それに対して変更することがメリットがあるかどうか?をどう考えるかとう時に期待値を使います。

今回、封筒を変えることによって金額が上がるか下がるかは、二者択一なので確率的には{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{1}{2}
\end{equation}
}です。


従って、この場合の期待値は、


{
\displaystyle
\begin{equation}
"期待値(=変えることでもらえそうな金額)"=\frac{1}{2}×20000円+\frac{1}{2}×5000円
\end{equation}
}
=12500円

となります。


1万円と比較して、12500円の方が、2500円分お得じゃないか!というわけです。



釈然としない問題〜リスクについて〜

この問題は、よくギャンブルや投資といった場面でしばしば使用される問題だそうです。

上記の問題を前項の「期待値」というのを理解した上で、『投資』という考え方で読み替えると、

1万円を持っていて、12500円にできる投資をするか否か?
その確率は{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{1}{2}
\end{equation}
}です。

と置き換えられます。
こうしてしまうと、「期待値」という概念が綺麗さっぱり吹き飛んでしまってただのギャンブルの話になりますね。


こなると、数学の話ではなくなります。
もはや心理学です。


ちなみに、ギャンブラーは封筒を変える選択をしがちです。
投資家は変えない選択をしがちです。




2つの封筒問題における心理的トリック

この問題はリスクをどう考えるかというトリックが含まれています。
これを行動経済学ではプロスペクト理論と呼ばれています。

プロスペクト理論
プロスペクト理論(プロスペクトりろん、英: Prospect theory)は、不確実性下における意思決定モデルの一つ。選択の結果得られる利益もしくは被る損害および、それら確率が既知の状況下において、人がどのような選択をするか記述するモデルである。
Wikipediaより


人間は、損得勘定をする時、利益よりも損益を先攻して考え、さらに利益を得るよりも損益を回避するように働く傾向が強いです。
なので、この2つの封筒問題では、「1万円が12500円になる」という利益の話よりも、「もしかしたら5000円になってしまうかもしれない」と考え、このリスクを回避しようとしてしまうのです。


もし、この問題が

「1万円もらえる権利」と「50%の確率で2万円もらえる権利」だとどちらの権利を選びますか?


というような問題だとすれば、間違いなく「1万円もらえる権利」を選択するでしょう。
期待値は両方とも1万円なのに。。。




まとめ

どうだったでしょうか?
よく語られる2つの封筒問題。
今回は心理学的な話から紐解いてみました。

ではでは。