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さいえんす ラボ

子育て、仕事、ブログ、健康に関することを実体験を元に書いて行きます。

面白い数学!モンティ・ホール問題〜ベイズ統計を用いたわかりやすい解説〜

f:id:life_of_dreams:20170418234951j:plain

モンティ・ホール問題という言葉を聞いたことがあるでしょうか?
今日はこの面白い問題を取り上げてみたいと思います。
何が面白いかって?
ではでは、早速始めましょう。



モンティ・ホール問題ってなに!?

モンティ・ホール問題(モンティ・ホールもんだい、英: Monty Hall problem)とは、確率論の問題で、ベイズの定理における事後確率、あるいは主観確率の例題のひとつとなっている。モンティ・ホール(英語版) (Monty Hall, 本名 Monte Halperin) が司会者を務めるアメリカのゲームショー番組、「Let's make a deal(英語版)[1]」の中で行われたゲームに関する論争に由来する。一種の心理トリックになっており、確率論から導かれる結果を説明されても、なお納得しない者が少なくないことから、ジレンマあるいはパラドックスとも称される。「直感で正しいと思える解答と、論理的に正しい解答が異なる問題」の適例とされる。
Wikipediaより引用


そして、実際の問題がこれです。

プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。プレーヤーはドアを変更すべきだろうか?」
f:id:life_of_dreams:20170419000037p:plain

Wikipediaより引用

この問題を最初に見た時、
「そんなのどちらでも一緒じゃん。確率は1/2なんだから五分五分の勝負だよ。
 僕だったら変更しないね」
って思ってました。

でも、これは
「変更する」が正解
なんです。

え!?
なんで!?



実際に確率計算してみよう!!

と思ったら落とし穴にはまった!

そんなはずはないと思う僕は、実際に確率を計算してみることにしました。

といっても、司会者が3つの扉のうち、不正解の1つを開けてしまっているので残った2つのうちどちらかが正解。
だからやっぱり

{
\displaystyle
\begin{equation}
「当たる確率」=\frac{1}{2}
\end{equation}
}

となって、答えを変えても変えなくても一緒じゃんってなります。

でもこれは、大事なことを見落としている、落とし穴にはまっているのでした。


問題の大事なところに気づこう!確変(確率変動)が起きてるぞ!

この問題で、最も重要なのは実は次の2点なのです。

  • モンティ(司会者)が、プレーヤーの選択した以外の2つから1つを開ける
  • そのドアにはヤギがいるとモンティはあらかじめわかっている


の2点です。

さらに言うと、このゲームに出てくる登場人物はプレーヤーとモンティの2人だということなのです。
もし、ここにプレーヤーがもう1人増えて3人になり3人目のプレーヤーが選ぶのであればこれはモンティ・ホール問題ではなくなるのです。

では、どう言うことか?


ベイズ統計とは!?確率変動後の確率を予測する手段

確率変動とは文字どおり、初期の状態から確率が変動した状態のこと。
ベイズ統計とはこう言った確率変動を織り込んで、事後確率というものを予測する手段なのです。

ではでは、実際にやってみましょう。
ベイズ統計で扱う事後確率は簡単に書くと次の通りです。

「事前確率」×「条件付き確率」

を計算し、モンティ側とプレーヤー側それぞれで計算をした合算値でこれを割るのが「事後確率」となります。





モンティ

プレーヤー

合計

事前確率

{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{2}{3}
\end{equation}
}


{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{1}{3}
\end{equation}
}

1 (100%)

条件付き確率

{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{1}{2}
\end{equation}
}

{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{1}{2}
\end{equation}
}

1 (100%)

事前確率

×

条件付き確率

{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{2}{6}
\end{equation}
}

{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{1}{6}
\end{equation}
}

{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{1}{2}
\end{equation}
}

事後確率

2/6 ÷ 1/2= {
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{2}{3}
\end{equation}
}

1/6 ÷ 1/2= {
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{1}{3}
\end{equation}
}

100%

つまり、モンティ側(選択肢を変える側)を選択する場合は当たる確率が{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{2}{3}
\end{equation}
}となり選択肢を変えない場合と比較すると2倍の確率となります。

おわかりいただけましたでしょうか?


でも納得できないんだけど!もっとわかりやすいのないの?

もっとよくわかりやすくするために、扉の枚数を増やすという方法があります。
100枚の場合、初期のプレーヤーの選択肢の正解確率は{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{1}{100}
\end{equation}
}となりますが、モンティが残りの選択肢99枚のうち98枚を開けてしまうと残りの扉の正解確率は{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{99}{100}
\end{equation}
}となります。


これでも納得できなければ、確変が起こる前と後を入れ替えて考えてみるのはどうでしょうか?

このゲームにはモンティとプレーヤーの2人しかいません。
扉は3枚(もしくは100枚でも良いです)ありますが、それを2枚(もしくは99枚)のグループと1枚のグループに最初から分けてみます。そのあとにプレーヤーが選択するとしたら、2枚のグループと1枚のグループのどちらを選択するのが確率が高いと言えるでしょうか?



モンティホールみたいな問題

これと同様な問題は「三人囚人問題」や「二封筒問題」などがある様です。

どれも直感に頼ってしまうと間違えてしまう問題ばかりですが、数学的には正しい答えを導けるというところが非常に面白いと思います。

↓2つの封筒問題
life-of-dreams.hatenablog.jp




まとめ

いかがだったでしょうか?
たけぽんはこういった面白い数学が大好きなのでこれからも紹介してきたいと思います。
ではでは。